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Introduction

在今天的数学作业中,遇到了一个大家争论异常激烈的题目。

题目内容是:「现有五瓶墨水,其中一瓶红墨水,蓝墨水和黑墨水各两瓶。现随机等可能抽取两瓶墨水,已知其中一个是蓝墨水,则另一个是黑墨水或红墨水的概率是?」

乍一看,这题目似乎挺简单。但是,里面蕴含了一个有趣的歧义。

「其中一个」究竟是指「其中存在一个」,还是「其中特定一个」呢?

采用两种理解,分别应该如何计算呢,产生的结果又是否不同,接下来,让我们详细研究这个问题。

「其中特定一个」& 普遍的误解

我们先来看「其中特定一个」这种可能性。

这是很容易理解的,若其中特定一个是蓝墨水,那么另一个也只有 4 中等可能事件了:黑1,黑2,红,蓝2。其中有三个符合要求,答案就是 $ $。

但是,事实真的是这样吗?

查看在知乎上的这篇回答,其中的总结部分,提到「不考虑语用影响、只从语义分析的话,「其中一个」应该被解释为「其中至少一个」」。

「其中存在一个」& 两种算法,不同结果?

这又是一个非常有意思的地方。

首先,理解为「其中存在一个」,就不存在歧义了。我们可以开始好好分析这个问题。

在刚开始分析这个问题时,我使用了一种办发:编号

取出的两个瓶子,分别编号为 1, 2 。那么:

  • 若 1 是蓝色,则 2 有红、黑1、黑2、蓝2 四种等可能事件
  • 若 2 是蓝色,则 1 有红、黑1、黑2、蓝2 四种等可能事件

共 8 种等可能事件,6 种满足要求,答案是 \(\frac{3}{4}\) ?似乎有些问题。

接下来,我用组合的方法算了一下这道题。

从 5 个对象中选 2 个,共有 \(C_5^2 = 10\) 种可能,具体是哪些可能呢(注:这里的括号两元素无顺序!):

(蓝1,蓝2);(蓝1,黑1);(蓝1,黑2),(蓝1,红); (蓝2,黑1);(蓝2,黑2);(蓝2,红); (黑1,黑2);(黑1,红); (黑2,红);

总共 10 种可能性,去掉没有蓝色的三个,还有 7 种等可能情况。其中六个满足条件,答案是 \(\frac{6}{7}\)

为什么两种算法算出来的结果不一样呢?

我们再仔细看一下第一种算法。找到问题了吗?

没错,我们在分类讨论时,只说了 1、2 是蓝色,却没有说它是第几个蓝色。换句话说,如下的讨论才是正确的。

  • 若 1 是蓝1,则 2 有红,黑1,黑2,蓝2 四种等可能事件。
  • 若 1 是蓝2,则 2 有红,黑1,黑2,蓝1 四种等可能事件。
  • 若 2 是蓝1,则 1 有红,黑1,黑2,蓝2 四种等可能事件。
  • 若 2 是蓝2,则 1 有红,黑1,黑2,蓝1 四种等可能事件。

换句话说,我们总共有如下等可能事件(注意:这里的括号两元素蕴含顺序,也就是说 (a, b) 和 (b, a) 不一样):

(蓝1,红);(蓝1,黑1);(蓝1,黑2);(蓝1,蓝2); (蓝2,红);(蓝2,黑1);(蓝2,黑2);(蓝2,蓝1); (红,蓝1);(黑1,蓝1);(黑2,蓝1);(蓝2,蓝1); (红,蓝2);(黑1,蓝2);(黑2,蓝2);(蓝1,蓝2);

发现了吗?(蓝1,蓝2) 和 (蓝2,蓝1) 分别有一个重复的。因此共有 14 种等可能事件。12 种满足要求,答案是 \(\frac{6}{7}\)。That's it!

尾记

研究这种问题是,编号一定要贯彻「一致性」:如果认为 蓝1,蓝2 不一样,你就应该认为他在讨论中的任何地方完全不一样,讨论时也要分别讨论。

同时,进行编号是,如果你认定括号元素是蕴含顺序的,你就必须认为 (a, b) 和 (a, b) 是完全一致的东西,就必须舍去一个,而无需考虑什么这会影响「等可能性」。

但是,编号还可能产生一些奇怪的问题,所以这种「存在一个」的问题,还是尽量使用组合的方法解决。无顺序便是这种题目的归宿。

就是这样。

在 Android 上写 Markdown

今天突然想起来以前买过纯纯写作的 Pro 版,但是一直没机会用。最近开始写博客终于可以试试了。顺便说一句,当时我买的时候好像只要几十块钱,现在永久版都到 150 了,血赚~

总体来说写作体验还是不错的,Markdown 支持数学公式渲染,Material Design 也是深得我心。界面切换平滑流畅,用心的 APP。

要是 Markdown 能增加一个「所见即所得」功能就好了。

关于疫情的一些想法

最近,也在各种平台上看到了大家对「除中国外疫情爆发」是个什么态度。

看完这些言论之后,深刻认识到独立思考的重要性。跟风真的会让自己陷入一种可怕的,被操控的境地。具体这里也就不多谈了。总之,尊重生命,为每一个因为新冠病毒失去生命、亲人、朋友的人默哀。

一些晚点要做的事情

  • 改一改博客的字体。希望中文换成思源黑体,西文用 Roboto 或者 Source Sans Pro。
  • 完善一下博客的介绍。
  • 这个主题在手机上公式会超出页面部分,可能要反馈给开发者一下。

杂务

  • 今天也会研究一道导数压轴题,晚点发布。
  • 想剪一个关于 yousa 的视频(非迫害!),但是题材还没想好。

数学题解析分享

周末做的数学卷子里有这么一题,他的第二问还挺有意思的。(这里只写第二问了)

已知函数 \(f(x) = x^2 + ax + 2 \ln x\) (\(a \in \mathbb{R}\))。若 \(f(x)\) 存在两个极值点 \(x_1, x_2\),且 \(\left| x_1 - x_2 \right| \le \frac{3}{2}\),求 \(\left| f(x_1) - f(x_2) \right|\) 的最大值。

解析:

首先注意到有两个极值点,也就是导数有两个零点,自然联想到韦达定理。

不失一般性我们设 \(x_1 > x_2 > 0\)

求导有 \(f'(x) = 2x + a + \frac{1}{x} = \frac{2x^2 + ax + 2}{x}\),分母不影响正负性。注意分子是个开口朝上的二次函数,因此 \(x_1\) 是极小值点,\(x_2\) 是极大值点。

所以,\(\left| f(x_1) - f(x_2) \right| = f(x_2) - f(x_1) = (x_2 - x_1)(x_2 + x_1) + a(x_2 - x_1) + 2(\ln x_2 - \ln x_1)\)

接下来,我们开始运用魔法(雾)。

很容易知道,\(x_1, x_2\) 是二次函数 \(2x^2 + ax + 2\) 的零点,那么,\(x_1 x_2 = 1\)\(x_1 + x_2 = -\frac{a}{2}\)

进行代换。

\[ \left| f(x_1) - f(x_2) \right| = (x_2 - x_1)(x_2 + x_1) - 2(x_2 + x_1)(x_2 - x_1) + 2 \ln x_2^2 = -(x_2^2 - \frac{1}{x_2^2}) + 2 \ln x_2^2 \]

换元。令 \(x_2^2 = t (t > 0)\),设 \(g(t) = 2 \ln t - t + \frac{1}{t}\),容易知道 \(g(t)\) 是减函数。从而,\(x_2^2\) 取最小的时候,\(\left| f(x_1) - f(x_2) \right|\) 最大。

小心! \(x_2^2\) 的最小值不是 \(0\) !(废话,不然题目第一个条件拿来干嘛!)

\(x_1 - x_2 \le \frac{3}{2}\)\(x_1 x_2 = 1\) 解得 \(x_2 \ge \frac{1}{2}\)

从而原式最小值是 \(g(\frac{1}{4}) = \frac{15}{4} - 4 \ln 2\)

这就完成了。

这道题的思路确实挺新颖的(对于我),值得记录一下。

一些感受思考

在生活中,我们会遇到一些东西或人,满足如下特性:

  • 在很大程度上能给我们带来快乐
  • 但是有它黑暗的一面,不道德的一面

我们该如何面对这种东西呢?

我目前还没有答案,但是我目前的做法是:享受这样东西或人给我带来的快乐,忽略(这里的忽略指的是不计较,不念念于心)它的阴暗面。

Hexo 搭建过程及注意事项

本文简单记录一下本博客使用 Hexo 的搭建过程,和一些注意事项。

Step 1. 安装 Node.js

Node.js 官网 下载好 Node.js 并安装。

Step 2. 安装 & 初始化 Hexo

按照 Hexo 官网 的步骤,操作如下。

首先,使用 npm 安装 Hexo。(注:以下操作均以 powershell 下为准。写作时在 Windows 10 1909)

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> npm install hexo-cli -g

然后,cd 到你想建立的博客主目录,然后初始化 Hexo,安装依赖。

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> hexo init
> npm install

然后可以试着生成一下了,执行

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> hexo clean
> hexo g
> hexo s

打开 http://127.0.0.1:4000 便可查看预览,若正常,则可以继续。

然后,可以打开主目录的 _config.yml 进行一些基本的设置更改。比如:

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title: NeterOster's Blog
url: http://blog.neteroster.live

当然,有需要可以自行更改其他设置。

Step 3. 设定 git & 绑定域名

这里先留个坑,以后详细讲讲 gitgpg 签名的事情。

总之,在配置完 git 以后。安装 Hexo 的 git 部署插件。

博客主目录运行

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> npm install hexo-deployer-git --save

然后打开在你的博客主目录的 _config.yml

找到 deploy 部分,配置如下。(其中请自行更改项目地址)

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deploy:
type: 'git'
repository: https://github.com/neteroster/neteroster.github.io
branch: master

接下来绑定自己的域名,这里以 blog.neteroster.live 为例。

首先在你的域名服务商添加一个 CNAME 记录,比如 blog.neteroster.live,值为 neteroster.github.io (按自己的更改)。

然后在主目录的 source 文件夹下,建一个 CNAME 文件,值为(按需要更改)

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blog.neteroster.live

然后执行

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> hexo clean
> hexo g
> hexo d

即可立即将博客推送到 Github,过几分钟便可以通过 blog.neteroster.live 访问了。

Step 4. 配置主题,打开数学公式支持

这里以 NexT 主题为例,其他主题大同小异。

在博客主目录,运行

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> git clone https://github.com/theme-next/hexo-theme-next themes/next

然后打开主目录的 _config.yml,找到 theme 部分,修改为

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theme: next

然后执行

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> hexo clean
> hexo g
> hexo s

打开 http://127.0.0.1:4000 便可以查看预览了。

接下来按照 NexT 官方教程 打开数学公式支持。

首先,下载并安装 Pandoc

然后,在博客主目录执行:

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> npm uninstall hexo-renderer-marked
> npm install hexo-renderer-pandoc

然后,打开主目录中 themes\next\_config.yml 文件,找到 math 部分,更改如下。

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math:
per_page: true

mathjax:
enable: true
mhchem: false

katex:
enable: false
copy_tex: false

这样便成功打开了数学公式支持(LaTeX)。需要注意的是,需要渲染的 post 开头必须要有 mathjax: true 才能渲染公式,例如。

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title: how-to-setup-hexo
date: 2020-03-30 14:20:44
tags:
mathjax: true
---

接下来可以在 themes\next\_config.yml 进行一些基本设置。例如设置社交链接

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social:
GitHub: https://github.com/neteroster || github
E-Mail: mailto:neteroster@gmail.com || envelope

CC 授权信息:

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creative_commons:
license: by-nc-sa
sidebar: true
post: true
language:

等。

完成后,推送更改至 Github。

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> hexo clean
> hexo g
> hexo d

等待几分钟,打开网页即可。

Step 5. 配置 SiteMap 便于收录

通过实现 sitemap,可以让你的博客更容易被搜索引擎收录。

在博客主目录执行

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> npm install hexo-generator-sitemap --save

然后重新部署

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> hexo clean
> hexo g
> hexo d

访问 https://blog.neteroster.live/sitemap.xml 即可验证(需要换为自己的地址)。

至此,你的博客基本配置完毕,Enjoy!

常用命令

  • hexo new post <NAME> 新文章,以 <NAME> 为题。

2020-03-30 记

又是一个普通、平常的星期一。

今天折腾了几个小时,把博客弄好了。说起搭建这个博客的原因,其实也有挺多吧。

一是现在网课时间比较充裕,希望能养成记 Blog 的习惯。在生活中,越来越意识到记录、表达的重要性。并且接触了一些非常优秀的人之后,也明白把一件有趣的想法、事情付诸实施是很有意思的一件事情。创作真的是非常奇妙的事情。了解这些的契机,以后再详细聊吧。

今天重新听了一下泠鸢 yousa 的 28 号直播曲目(当时时间不够且网络太差没全听完)。

又找到了两首很喜欢的曲子(果然冷鸟是良曲挖掘器嘛):

  • 巡恋风: 这首曲子音很高,yousa 自己都说太高了(当然唱的还是很棒!),3:23 附近的高音伴奏很抓人。
  • 星之回响: 这是 Bilibili 2020 拜年祭的曲子。但是,我觉得拜年祭让不是中文母语的 VTuber 唱实在有点浪费了很棒的作曲作词。这首曲子钢琴在高音区有很多分散的伴奏音,我觉得是点睛之笔。(说起钢琴高音区伴奏,我又想起了 Cinderella 这首曲子,真的给人耳目一新的感觉)。

刚刚创建了这个 Blog。我是 NeterOster,一名学生,居住于中国。

这个 Blog 大概会记录以下内容:

  • 生活中的趣闻趣事
  • 有趣的数学题、物理题
  • 其他有必要的内容

我的邮箱是 neteroster@gmail.com,我的 GPG 公钥指纹是 0x4174C46B46EC1050

这里测试一下数学公式输入:

\[ e^{i \pi} + 1 = 0 \]