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含参函数最值极值求法

今天发一篇以前自己写的小笔记。之后笔记也会慢慢都发上来。

Example

先来看一个例子。

Example T1. 已知函数 \(f(x) = e^x - ax^2 -bx - 1\),其中,\(a, b \in \mathbb{R}\),设 \(g(x) = f'(x)\),求函数 \(g(x)\) 在区间 \(\left[0, 1\right]\) 上的最小值。

Solution T1. 根据题,易得 \[ g(x) = e^x - 2ax - b \] 那么 \[ g'(x) = e^x - 2a \]\(x \in \left[0, 1\right]\) 时,\(g'(x) \in \left[ 1-2a, e-2a\right]\),也就是说当 \(1-2a\ge0\)\(g(x)\) 在区间内为增函数,\(g(x)_{\text{min}} = g(0)\)

得当 \(a \le \frac{1}{2}\) 时,\(g(x)_{\text{min}} = g(0) = 1-b\)

同理,当 \(e-2a \le 0\) 时,\(g(x)\) 在区间内为减函数,那么 \(g(x)_{\text{min}} = g(1)\)

得当 \(a \ge \frac{e}{2}\) 时,\(g(x)_{\text{min}} = g(1) = e - 2a - b\)

那么,当 \(a \in \left( \frac{1}{2}, \frac{e}{2} \right)\) 时,\(g'(x)\) 的零点就在 \(\left[ 0, 1 \right]\) 之内。我们现在求解其零点 \[ e^x - 2a = 0 \]\(x = \ln(2a)\) ,那么此时 \[ g(x)_{\text{min}} = g(\ln(2a)) = 2a - 2a\ln(2a) - b \] 至此已经把所有情况讨论完毕。

General Steps

这个求法的一般做法归纳如下:

  1. 求目标函数(求极值的函数)的导函数 \(f'(x)\)
  2. 分别讨论 导函数的零点在所给区间内导函数零点在所给区间左导函数零点在所给区间右
  3. 得出结论。

如果导函数是单调函数,可以写出其值域(这里以递增为例):在区间 \(\left[a, b \right]\) 内,导数值域为 \(\left[f'(a), f'(b) \right]\),再以值域边界的正负进一步讨论即可。