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「其中一个」到底怎么研究?

Introduction

在今天的数学作业中,遇到了一个大家争论异常激烈的题目。

题目内容是:「现有五瓶墨水,其中一瓶红墨水,蓝墨水和黑墨水各两瓶。现随机等可能抽取两瓶墨水,已知其中一个是蓝墨水,则另一个是黑墨水或红墨水的概率是?」

乍一看,这题目似乎挺简单。但是,里面蕴含了一个有趣的歧义。

「其中一个」究竟是指「其中存在一个」,还是「其中特定一个」呢?

采用两种理解,分别应该如何计算呢,产生的结果又是否不同,接下来,让我们详细研究这个问题。

「其中特定一个」& 普遍的误解

我们先来看「其中特定一个」这种可能性。

这是很容易理解的,若其中特定一个是蓝墨水,那么另一个也只有 4 中等可能事件了:黑1,黑2,红,蓝2。其中有三个符合要求,答案就是 $ $。

但是,事实真的是这样吗?

查看在知乎上的这篇回答,其中的总结部分,提到「不考虑语用影响、只从语义分析的话,「其中一个」应该被解释为「其中至少一个」」。

「其中存在一个」& 两种算法,不同结果?

这又是一个非常有意思的地方。

首先,理解为「其中存在一个」,就不存在歧义了。我们可以开始好好分析这个问题。

在刚开始分析这个问题时,我使用了一种办发:编号

取出的两个瓶子,分别编号为 1, 2 。那么:

  • 若 1 是蓝色,则 2 有红、黑1、黑2、蓝2 四种等可能事件
  • 若 2 是蓝色,则 1 有红、黑1、黑2、蓝2 四种等可能事件

共 8 种等可能事件,6 种满足要求,答案是 \(\frac{3}{4}\) ?似乎有些问题。

接下来,我用组合的方法算了一下这道题。

从 5 个对象中选 2 个,共有 \(C_5^2 = 10\) 种可能,具体是哪些可能呢(注:这里的括号两元素无顺序!):

(蓝1,蓝2);(蓝1,黑1);(蓝1,黑2),(蓝1,红); (蓝2,黑1);(蓝2,黑2);(蓝2,红); (黑1,黑2);(黑1,红); (黑2,红);

总共 10 种可能性,去掉没有蓝色的三个,还有 7 种等可能情况。其中六个满足条件,答案是 \(\frac{6}{7}\)

为什么两种算法算出来的结果不一样呢?

我们再仔细看一下第一种算法。找到问题了吗?

没错,我们在分类讨论时,只说了 1、2 是蓝色,却没有说它是第几个蓝色。换句话说,如下的讨论才是正确的。

  • 若 1 是蓝1,则 2 有红,黑1,黑2,蓝2 四种等可能事件。
  • 若 1 是蓝2,则 2 有红,黑1,黑2,蓝1 四种等可能事件。
  • 若 2 是蓝1,则 1 有红,黑1,黑2,蓝2 四种等可能事件。
  • 若 2 是蓝2,则 1 有红,黑1,黑2,蓝1 四种等可能事件。

换句话说,我们总共有如下等可能事件(注意:这里的括号两元素蕴含顺序,也就是说 (a, b) 和 (b, a) 不一样):

(蓝1,红);(蓝1,黑1);(蓝1,黑2);(蓝1,蓝2); (蓝2,红);(蓝2,黑1);(蓝2,黑2);(蓝2,蓝1); (红,蓝1);(黑1,蓝1);(黑2,蓝1);(蓝2,蓝1); (红,蓝2);(黑1,蓝2);(黑2,蓝2);(蓝1,蓝2);

发现了吗?(蓝1,蓝2) 和 (蓝2,蓝1) 分别有一个重复的。因此共有 14 种等可能事件。12 种满足要求,答案是 \(\frac{6}{7}\)。That's it!

尾记

研究这种问题是,编号一定要贯彻「一致性」:如果认为 蓝1,蓝2 不一样,你就应该认为他在讨论中的任何地方完全不一样,讨论时也要分别讨论。

同时,进行编号是,如果你认定括号元素是蕴含顺序的,你就必须认为 (a, b) 和 (a, b) 是完全一致的东西,就必须舍去一个,而无需考虑什么这会影响「等可能性」。

但是,编号还可能产生一些奇怪的问题,所以这种「存在一个」的问题,还是尽量使用组合的方法解决。无顺序便是这种题目的归宿。

就是这样。