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【排列组合随想】顺序的来源。排列和组合的根本差异从何而来?

Introduction

众所周知,「排列」是顺序的,而「组合」是无序的。这具体是什么意思呢?

比如我们有 5 个元素:A, B, C, D, E。

  • 如果我们「排列」其中的两个数(\(A_5^2\)),这时候 {A, B} 和 {B, A} 是分别计入总数的。
  • 如果我们「组合」其中的两个数(\(C_5^2\)),这时候 {A, B} 和 {B, A} 只算一种

小思考题

想一想 \(C_5^2\)\(C_5^1 C_4^1\) 有什么区别呢?

Answer: 实际上,你在运用两个「组合」的时候,你已经隐性的运用了一次「排列」。

特别小心连用组合造成的隐形排列

在有的题目中,我们经常多次使用「组合」挑选东西。但是,一旦你同时用以下方式使用组合,你很可能就做错了:

  • 连用 2 个或以上组合数。
  • 连用的这些组合是在挑选一类东西,或者这些组合挑选的元素种类有交集

那么,为什么连用组合挑选不同东西就没问题呢。这是因为,不同类东西,本身就具有「顺序」。

比方说,我有两类元素:(Type 1.) A, B, C, D, E;(Type 2.) 1, 2, 3, 4, 5。

要求:选择从两类元素中分别各选出 2 个元素。

你自然会想到 \(C_5^2 C_5^2\),这时候,你可以确保第二个组合不会选到 Type. 1 的元素,同理,第一个组合不会选到 Type. 2 的元素。每个组合选出的元素都是唯一的,且两个组合元素种类没有交集,这两个条件即会确保无重复的正确选择。