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20200330 数学题解析分享 & 随想

数学题解析分享

周末做的数学卷子里有这么一题,他的第二问还挺有意思的。(这里只写第二问了)

已知函数 \(f(x) = x^2 + ax + 2 \ln x\) (\(a \in \mathbb{R}\))。若 \(f(x)\) 存在两个极值点 \(x_1, x_2\),且 \(\left| x_1 - x_2 \right| \le \frac{3}{2}\),求 \(\left| f(x_1) - f(x_2) \right|\) 的最大值。

解析:

首先注意到有两个极值点,也就是导数有两个零点,自然联想到韦达定理。

不失一般性我们设 \(x_1 > x_2 > 0\)

求导有 \(f'(x) = 2x + a + \frac{1}{x} = \frac{2x^2 + ax + 2}{x}\),分母不影响正负性。注意分子是个开口朝上的二次函数,因此 \(x_1\) 是极小值点,\(x_2\) 是极大值点。

所以,\(\left| f(x_1) - f(x_2) \right| = f(x_2) - f(x_1) = (x_2 - x_1)(x_2 + x_1) + a(x_2 - x_1) + 2(\ln x_2 - \ln x_1)\)

接下来,我们开始运用魔法(雾)。

很容易知道,\(x_1, x_2\) 是二次函数 \(2x^2 + ax + 2\) 的零点,那么,\(x_1 x_2 = 1\)\(x_1 + x_2 = -\frac{a}{2}\)

进行代换。

\[ \left| f(x_1) - f(x_2) \right| = (x_2 - x_1)(x_2 + x_1) - 2(x_2 + x_1)(x_2 - x_1) + 2 \ln x_2^2 = -(x_2^2 - \frac{1}{x_2^2}) + 2 \ln x_2^2 \]

换元。令 \(x_2^2 = t (t > 0)\),设 \(g(t) = 2 \ln t - t + \frac{1}{t}\),容易知道 \(g(t)\) 是减函数。从而,\(x_2^2\) 取最小的时候,\(\left| f(x_1) - f(x_2) \right|\) 最大。

小心! \(x_2^2\) 的最小值不是 \(0\) !(废话,不然题目第一个条件拿来干嘛!)

\(x_1 - x_2 \le \frac{3}{2}\)\(x_1 x_2 = 1\) 解得 \(x_2 \ge \frac{1}{2}\)

从而原式最小值是 \(g(\frac{1}{4}) = \frac{15}{4} - 4 \ln 2\)

这就完成了。

这道题的思路确实挺新颖的(对于我),值得记录一下。

一些感受思考

在生活中,我们会遇到一些东西或人,满足如下特性:

  • 在很大程度上能给我们带来快乐
  • 但是有它黑暗的一面,不道德的一面

我们该如何面对这种东西呢?

我目前还没有答案,但是我目前的做法是:享受这样东西或人给我带来的快乐,忽略(这里的忽略指的是不计较,不念念于心)它的阴暗面。